Gevorderd - sinus, cosinus en tangens in de praktijk

 

IKEA loopband

Uitdaging

In de praktijk komen veel problemen voor die je als driehoek kunt benaderen en daarmee met de sinus, cosinus en tangens kunt oplossen. Zoals bijvoorbeeld de loopband in de IKEA die op een hellings staat zoals je kunt zien in de afbeelding.

In deze theorie leggen we je uit hoe je met goniometrische verhoudingen in de praktijk kunt rekenen, ook al kan dat soms best lastig zijn.

Methode

De goniometrische verhoudingen zijn:

• $$\mbox{Sin }(\angle {A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
• $$\mbox{Cos }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
• $$\mbox{Tan }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}$$ 

Er kunnen in de praktijk twee dingen voorkomen: je moet een hoek berekenen of je moet een zijde berekenen. Bekijk altijd goed de situatie, schrijf op welke dingen er gegeven zijn en wat er gevraagd is. Denk daarna na over welke formule je nodig hebt om het probleem op te kunnen lossen. Het is ook handig om voor jezelf de situatie te tekenen als een driehoek als dat niet bij de vraag staat, dan is het een stuk overzichtelijker.

Bekijk altijd goed of je aan het einde nog een bepaalde lengte erbij op moet tellen of juist eraf moet trekken en probeer creatief te zijn in het bedenken van oplossingen. Soms is een bepaalde lengte die je nodig hebt niet direct gegeven, maar je kan er vaak wel makkelijk achterkomen als je rustig nadenkt en goed kijkt wat er allemaal wel gegeven is.

Hoek berekenen

Laten we als voorbeeld de tangens nemen (bij de sinus en de cosinus kun je de formule op dezelfde manier omschrijven). Als je als laatste stap de hoek wilt uitrekenen, dan moet je de 'inverse' tangens nemen van de gegeven verhouding van de zijden (je kunt hiervoor op je rekenmachine de knoppen SHIFT+tan gebruiken, je ziet dat er dan tan^-1 komt te staan). Hieronder zie je de originele formule voor de tangens en ook de versie waarmee je direct de hoek uitrekent.

• $$\mbox{tan }\angle A=\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}$$
• $$\angle A=\mbox{tan}^{-1}\left(\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}\right)$$

Zijde berekenen

Als we nu bijvoorbeeld de formule van de tangens omschrijven zodat een van de zijden alleen aan de linkerkant staat, dan kun je zien hoe je deze zijde kunt berekenen als de andere gegevens (de hoek en de andere zijde) bekend zijn:

• $${\text{overstaande rechthoekszijde van } \angle A} = \text{tan}(\angle {A})·\mbox{overstaande rechthoekszijde van }\angle A$$
• $$\text{aanliggende rechthoekszijde van }\angle A = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde van } \angle{A}}{\text{tan}(\angle{A})}$$