Rekenen met machtsfuncties en machtsgrafieken herkennen

 

Grafiek h(x)

 

Grafiek k(x)

 

Grafiek m(x)

 

Grafieken van machtsfuncties

Uitdaging

Een machtsfunctie heeft de vorm f(x) = axⁿ. Uit de functie kun je de vorm van de grafiek opmaken.

Methode

Een voorbeeld van een machtsformule is y = 2x⁵ en een voorbeeld van een machtsfunctie is f(x) = 2x⁵.

Een machtsfunctie bestaat uit een macht (bijvoorbeeld x², x⁵ of x²⁰) vermenigvuldigd met een getal (bijvoorbeeld 1, 2 of 0,5). Je kunt in het algemeen stellen dat een machtsfunctie een functie is van de vorm f(x) = axⁿ.

Ook bij machtsfuncties kun je een grafiek tekenen. Aan de functie kun je zien welke vorm de grafiek heeft. Hoe je dit kunt zien, behandelen we hier.

n is een even getal
Laten we beginnen met het exponent n. Neem de machtsfunctie h(x) = 2x⁴. Een tabel bij deze functie is:

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} x &-2 & -1 & 0 & 1 & 2  \T \\\hline h(x)& 32 & 2 & 0 & 2 & 32 \end{array}$$

In de tabel kun je al zien dat de grafiek links en rechts van de y-as gespiegeld is. Dit is te verklaren aan de hand van de exponent n. Als je namelijk h(x) = 2x⁴ berekent voor x = -2, dan krijg je $$h(-2) = 2 \cdot (-2)^4 = 2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = 32$$.
min $$\cdot$$ min = plus
min $$\cdot$$ min $$\cdot$$ min $$\cdot$$ min = plus
min $$\cdot$$ min $$\cdot$$ min $$\cdot$$ min $$\cdot$$ min $$\cdot$$ min = plus

Als je een even aantal negatieve getallen met elkaar vermenigvuldigd, dan komt er een positief getal uit. Dus als de exponent n een even getal is (2, 4, 6, 8 enz.) dan maakt het niet uit of je x = -2 of x = 2 invult, je krijgt er hetzelfde antwoord uit. 

De grafiek van h(x) = 2x⁴ kun je hierboven zien. De grafiek lijkt op een parabool, maar is net even anders. Iedere machtsfunctie axⁿ, waarbij de exponent een even getal is, krijgt deze vorm. 

Maar wat is dan de invloed van a? Dit werkt net zoals bij een kwadratische functie. Bij een kwadratische functie bepaald de a of de grafiek een dal- of een bergparabool is. Als a negatief is, dan krijg je een bergparabool, is a positief, dan krijg je een dalparabool. Hetzelfde geldt voor machtsfuncties. De grafiek van een machtsfunctie is geen parabool, maar lijkt wel op een parabool. Als de a in de machtsfunctie negatief is, dan heeft de grafiek van deze functie de vorm van een berg. Als de a in de machtsfunctie positief is, dan heeft de grafiek van deze funcite de vorm van een dal.

Kortom: In de functie f(x) = axⁿ, als n een even getal is, dan wordt de grafiek van de machtsfunctie gespiegeld in de y-as. Is a een positief getal, dan heeft de grafiek de vorm van een dal. Is a een negatief getal, dan heeft de grafiek de vorm van een berg.
Daarnaast ligt de top van deze grafieken altijd in de oorsprong (0,0).

n is een oneven getal
Als n een oneven getal is, dan zien de grafieken er compleet anders uit. Neem bijvoorbeeld k(x) = 2x⁵. 

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} x &-2 & -1 & 0 & 1 & 2  \T \\\hline k(x)& -64 & -2 & 0 & 2 & 64 \end{array}$$

Doordat n een oneven getal is, krijg je voor een negatieve x ook een negatieve uitkomst van de macht. Hier maakt het dus wel een verschil als je x = -2 of x = 2 invult. De grafiek die hierbij hoort kun je hierboven zien. Iedere grafiek van een machtsfunctie met voor n een oneven getal krijgt deze vorm. Het bijzondere van deze grafieken is dat deze puntsymmetrisch zijn rondom het punt (0,0).

De a in de functie heeft echter ook hier invloed. Als a namelijk negatief is, gebeurt er dit:
m(x) = -2x⁵
$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} x &-2 & -1 & 0 & 1 & 2  \T \\\hline m(x)& 64 & 2 & 0 & -2 & 64 \end{array}$$

Hierdoor wordt de grafiek dus omgedraaid, zoals je ook in het figuur hierboven kun zien.